Jugando con el infinito

¿Qué es el infinito?

• No es grande …
• No es enorme …
• No es colosal …
• Es asombrosamente inconcebible …
• … Es infinito!

Infinito es la idea de algo que no tiene fin

En nuestro mundo no tenemos nada igual. Puedes imaginarte viajando a un lugar muy lejano, a otro planeta quizás, tratando de llegar allí, pero eso no es realmente infinito.

Es posible que nuestro cerebro no lo pueda concebir. Podemos simplificarlo pensando en algo “sin fin”, o “sin límites”. La mayoría de las cosas que conocemos tienen un fin, el infinito no.

• Interminable
• Numeroso
• Fantástico
• Inconmesurable
• No Contable
• Incalculable
• Todopoderoso
• Omnipresente

El Infinito no crece 

El infinito no es “cada vez más grande”, ya está completamente formado.

A veces la gente piensa que “sigue y sigue”, como si estuviese creciendo de alguna manera. Pero el infinito no hace nada, simplemente es.

Infinito no es un número real, no se puede medir

Nuestro protagonista no es un número real, es una idea de que nunca termina.Por ejemplo, la secuencia de los números naturales {1, 2, 3,4,5, …} nunca termina, es infinita.
Incluso esas galaxias lejanas que se pierden en la inmensidad no pueden competir con el infinito.

¿Es el infinito simple?

¡Sí! Es una paradoja, pero posiblemente es más sencillo que las cosas que sí tienen un fin. Porque cuando algo tiene un final, tenemos que definir dónde está ese fin.
Por ejemplo, en geometría, por definición decimos que una línea recta tiene longitud infinita en sus dos extremos, es decir, que se dirige en ambas direcciones sin fin.

Cuando una línea recta tiene marcado un origen, constituye una semirrecta. En un segmento sus dos extremos son fijos, pero necesitas información extra para definir donde están los extremos. Pero esto es más complicado de lo que parece, porque hay infinitos puntos en cualquier línea y también en un pequeño segmento.

  Podemos aceptar que 1/3 es un número finito. Pero si se te ocurre expresar este número como un número decimal, comprobarás que el   3 se repite indefinidamente. No hay ninguna razón por la cual los tres deban parar.

Todos los números decimales periódicos son infinitos, porque tienen una serie infinita de números que nunca se acaban.

Números gigantescos

Hay algunos números que impresionan por su grandeza. Para empezar te describiré el que para muchos es el Dios del siglo XXI, el que todo lo sabe.

Sí, lo has adivinado, el “señor Google”.

Un Googol es un 1 seguido de cien ceros. Nos ocuparía más de dos líneas. Mejor expresarlo en notación científica:

Google, el buscador de internet mundialmente más utilizado, fue llamado así debido a este número. Los fundadores iban a llamarlo Googol, pero debido a un error de ortografía terminaron llamándole Google. Este número lo inventó en 1938 Milton Sirotta, un muchacho de 9 años, sobrino del matemático Edward Kasner. Hoy resulta curiosa la frase que acuñó Isaac Asimov en una ocasión "Tendremos que padecer eternamente un número inventado por un bebé."
Este grandullón también puede servirnos para ilustrar la diferencia entre un número inimaginablemente grande y el infinito. Un Googol ya es más grande que el número de átomos de hidrógeno que existen en el universo conocido. Pero este número es un cero a la izquierda comparado con el siguiente.

Un Googolplex. es 10 elevado a googol

Sólo se puede escribir en notación científica. Resulta imposible escribir este número con todos sus ceros. ¿Por qué? Porque sencillamente no cabría en nuestro universo expresado linealmente.

Pero aun así, un googolplex es un número finito, porque está definido y “podríamos llegar allí”

Tu mismo podrías crear fácilmente números más enormes que estos! Y seguirías estando lejos del infinito …

El uso del infinito en matemáticas

A veces podemos utilizar el infinito como si fuese un número; pero el infinito no se comporta como un número real. Para ayudarte a entenderlo, cada vez que veas el símbolo infinito “∞”, puedes pensar en “sin fin”
Por ejemplo: ∞ + 1 = ∞ Es lo mismo que decir que infinito más uno sigue siendo igual a infinito. Si algo es interminable, aunque le añadamos 1 unidad, seguirá siendo interminable.

Lo más importante acerca de la infinidad es que siendo "x" cualquier número real, siempre se cumple que:

-∞ < x < ∞

Es decir, menos infinito es menor que cualquier número real. Y el infinito es mayor que cualquier número real.

Nuestro querido ocho tumbado también tiene sus propiedades. Te muestro aquí algunas. También cumple la regla de los signos.

∞ + ∞ = ∞
- ∞ - ∞ = - ∞
∞ · ∞ = ∞
- ∞ · ∞ = -∞
x- (-∞) = ∞
x · (-∞) = - ∞

Operaciones indeterminadas o no definidas

Se utilizan principalmente en el cálculo de límites. Si los resultados que se obtienen, no tienen sentido en el campo de los números reales, entonces se dice que le límite está indeterminado. Puedes encontrarte con estos 5 casos.

                                     

Ejemplo: ¿Por qué ∞ / ∞ no es igual a 1? 

Porque realmente no sabemos cuán grande es el infinito; así que no podemos decir que dos infinitos son los mismos. Por ejemplo, si dices que ∞ + ∞ = ∞, puedes llegar a concluir que 1=2. De esta forma:

Y eso no tiene sentido! Esta es la explicación de porqué ∞/∞ es una indeterminación.

¿Hay el mismo número de números enteros que de números pares?

Es posible que la intuición te lleve a pensar que no. Argumentando que el conjunto de los números naturales (N) tiene el doble de números que el conjunto de números pares (P) por sí solo.

Pero esta idea se vuelve borrosa cuando jugamos con conjuntos de un número indefinido de elementos. Puedes ver que sorprendentemente, hay una correspondencia de uno a uno entre N y el conjunto de los números pares P:

Seguramente has llegado a esta asombrosa conclusión: hay el “mismo número” de números enteros que de números pares!

Termino con otra pregunta. ¿Es el todo mayor que una parte? No siempre… Parece que cuando trabajamos con conjuntos infinitos, no.